Решить задачу по экономике

Условие задачи:

Компания «Альфа» производит товары X и Y. На единицу X нужно 3 часа труда и 2 единицы сырья, на единицу Y — 2 часа труда и 3 единицы сырья. Есть 120 часов труда и 100 единиц сырья. Прибыль с единицы X — 30 ₽, с единицы Y — 50 ₽. Сколько единиц каждого товара выпускать, чтобы прибыль была максимальной?

Решение:

1. Переменные: \( x \) — количество товара X, \( y \) — товара Y.

2. Ограничения:

• труд: \( 3x + 2y \le 120 \)
• сырьё: \( 2x + 3y \le 100 \)
• \( x \ge 0,\ y \ge 0 \)

3. Целевая функция: \( P = 30x + 50y \to \max \)

4. Вершины области допустимых решений.

• На оси \( x \) (\( y = 0 \)): по труду \( x \le 40 \), по сырью \( x \le 50 \). Действует более жёсткое ограничение — вершина \( (40;\ 0) \).
• На оси \( y \) (\( x = 0 \)): по труду \( y \le 60 \), по сырью \( y \le 33\tfrac13 \) — вершина \( (0;\ 33\tfrac13) \).
• Пересечение ограничений: из \( 3x + 2y = 120 \) и \( 2x + 3y = 100 \) получаем \( 5x = 160 \), \( x = 32 \), \( y = 12 \) — вершина \( (32;\ 12) \).
• И начало координат \( (0;\ 0) \).

5. Прибыль в вершинах:

• \( (0;\ 0) \): 0 ₽
• \( (40;\ 0) \): \( 30 \cdot 40 = 1200 \) ₽
• \( (32;\ 12) \): \( 960 + 600 = 1560 \) ₽
• \( (0;\ 33\tfrac13) \): \( 50 \cdot 33\tfrac13 \approx 1666{,}67 \) ₽ — максимум

6. Товары выпускаются целыми штуками. Проверим целые точки рядом с оптимумом (сырьё — главное ограничение):

• \( y = 33,\ x = 0 \): сырьё 99, прибыль 1650 ₽
• \( y = 32,\ x = 2 \): сырьё \( 4 + 96 = 100 \), труд \( 6 + 64 = 70 \) — ограничения выполнены, прибыль \( 60 + 1600 = 1660 \) ₽
• \( y = 30,\ x = 5 \): сырьё 100, прибыль 1650 ₽

Итоговый ответ: без учёта целочисленности максимум — только товар Y, \( 33\tfrac13 \) единицы (≈ 1666,67 ₽). В целых единицах выгоднее всего выпускать 2 единицы X и 32 единицы Y — прибыль 1660 ₽. Точка «60 единиц X» недопустима: на неё нужно 180 часов труда при 120 доступных.